学习本文前确保你：

深刻理解不等式求最值的含义，常用最值思考方向（直接放缩常数、放缩出原表达式结构等等）。

熟练使用三角恒等变换的公式、辅助角公式。

此方法常出现于双变量三角函数最值问题，普通学生在没有引导下一般难以跳出框架思考，可以自然地将其中一个变量视作参数并使用书本上已知的“辅助角公式”的知识进行放缩。

一般来说只需使用二元柯西不等式即可，并且这等价于辅助角公式的方法。

例1 已知
\cos(\alpha + \beta) = \sin\alpha + \sin\beta
\cos(\alpha + \beta) = \sin\alpha + \sin\beta
求
\sin\alpha
\sin\alpha
最小值

解：

直接展开为：

\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta = \sin\alpha + \sin\beta
\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta = \sin\alpha + \sin\beta

可以观察出无法分离

\alpha
\alpha
和
\beta
\beta
的三角函数名.

将

\beta
\beta
的三角函数名放置参数位置，

\cos\alpha\cos\beta - (\sin\alpha+1)\sin\beta = \sin\alpha \quad
\cos\alpha\cos\beta - (\sin\alpha+1)\sin\beta = \sin\alpha \quad

使用柯西不等式，

\implies \sin^2\alpha \le \left[\cos^2\alpha + (\sin\alpha+1)^2\right]\left(\cos^2\beta + \sin^2\beta\right)
\implies \sin^2\alpha \le \left[\cos^2\alpha + (\sin\alpha+1)^2\right]\left(\cos^2\beta + \sin^2\beta\right)

= 2\sin\alpha + 2 \quad (\text{Cauchy})
= 2\sin\alpha + 2 \quad (\text{Cauchy})

\implies \sin\alpha \ge 1-\sqrt{3}
\implies \sin\alpha \ge 1-\sqrt{3}

例2 已知
0 < A, B < \dfrac{\pi}{2}
0 < A, B < \dfrac{\pi}{2}
，且
\sin B \cdot \sin(B + A) = \sin A
\sin B \cdot \sin(B + A) = \sin A
，求
\tan A
\tan A
最大值

解：

直接展开，

\sin^2B\cos A + \sin B\cos B\sin A = \sin A
\sin^2B\cos A + \sin B\cos B\sin A = \sin A

\implies \sin^2B + \sin B\cos B \tan A = \tan A
\implies \sin^2B + \sin B\cos B \tan A = \tan A

法一：可分离

A
A
B
B
，直接有界计算最值

\tan A = \frac{\sin^2B}{1-\sin B\cos B}
\tan A = \frac{\sin^2B}{1-\sin B\cos B}

= \frac{1-\cos2B}{2-\sin2B} \le \frac{4}{3} \quad (\text{辅助角}) \quad x\in(0,\pi)
= \frac{1-\cos2B}{2-\sin2B} \le \frac{4}{3} \quad (\text{辅助角}) \quad x\in(0,\pi)

法二：同 例题1进行柯西结构分参

即把

1-\cos2B+\sin2B\tan A = 2\tan A
1-\cos2B+\sin2B\tan A = 2\tan A

做变换成如下结构：

\sin2B \tan A-\cos2B = 2\tan A-1
\sin2B \tan A-\cos2B = 2\tan A-1

于是，

2\tan A-1 \le \tan^2A+1 \quad (\text{Cauchy})
2\tan A-1 \le \tan^2A+1 \quad (\text{Cauchy})
\implies \tan A \le \frac{4}{3}
\implies \tan A \le \frac{4}{3}

例3 函数
f(x,y)=\sin x \cdot \sqrt{\cos y} + \cos x \cdot \sqrt{\sin y}
f(x,y)=\sin x \cdot \sqrt{\cos y} + \cos x \cdot \sqrt{\sin y}
的最大值为______. （湖北省2025-2026学年高三元月调考第二次联考）


答案

直接柯西放掉一个参数，

f(x,y)=\sin x \cdot \sqrt{\cos y} + \cos x \cdot \sqrt{\sin y}
f(x,y)=\sin x \cdot \sqrt{\cos y} + \cos x \cdot \sqrt{\sin y}

\le \sqrt{(\sin^2 x + \cos^2 x)(\cos y + \sin y)} = \sqrt{\cos y + \sin y}
\le \sqrt{(\sin^2 x + \cos^2 x)(\cos y + \sin y)} = \sqrt{\cos y + \sin y}

单变量再放一次辅助角就可以了，

\cos y + \sin y = \sqrt{2}\sin\left(y+\frac{\pi}{4}\right) \le \sqrt{2}
\cos y + \sin y = \sqrt{2}\sin\left(y+\frac{\pi}{4}\right) \le \sqrt{2}

即

f(x,y) \le \sqrt{\sqrt{2}}=\sqrt[4]{2}
f(x,y) \le \sqrt{\sqrt{2}}=\sqrt[4]{2}

总结：

其实此类题目的本质就是三角函数变量隐藏了

\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta = 1
\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta = 1
的定值条件，需要借助柯西不等式放缩一下才能用上
\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta = 1
\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta = 1
良好的条件，把一个参数放缩掉，后面就轻松很多了。至于后续是需要 解不等式 还是 直接函数有界，因放缩后的结果而定。

Tips:高考非重点

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