原问题：如何证明ζ(3/2)

考虑分开放缩做一个尝试，

\begin{align*} \frac{1}{n\sqrt{n}}&<\frac{2}{n(\sqrt{n - 1}+\sqrt{n + 1})}\\ &=\frac{1}{n}(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n - 1})\\ &<\frac{1}{\sqrt{n - 1}\sqrt{n + 1}}(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n - 1})\\ &=\frac{1}{\sqrt{n - 1}}-\frac{1}{\sqrt{n + 1}} \end{align*}
\begin{align*} \frac{1}{n\sqrt{n}}&<\frac{2}{n(\sqrt{n - 1}+\sqrt{n + 1})}\\ &=\frac{1}{n}(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n - 1})\\ &<\frac{1}{\sqrt{n - 1}\sqrt{n + 1}}(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n - 1})\\ &=\frac{1}{\sqrt{n - 1}}-\frac{1}{\sqrt{n + 1}} \end{align*}

这里用到了

\dfrac{b - a}{ab} = \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}
\dfrac{b - a}{ab} = \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}
也可以构造出望远镜裂项

于是，

\begin{align*} \zeta\left(\frac{3}{2}\right)&=1+\sum_{k = 2}^{n}\frac{1}{k\sqrt{k}}\\ &<1+\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n + 1}}\right)\\ &=2+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n + 1}}\\ &<2+\frac{\sqrt{2}}{2}<e \end{align*}
\begin{align*} \zeta\left(\frac{3}{2}\right)&=1+\sum_{k = 2}^{n}\frac{1}{k\sqrt{k}}\\ &<1+\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n + 1}}\right)\\ &=2+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n + 1}}\\ &<2+\frac{\sqrt{2}}{2}<e \end{align*}

最后一步

如何优雅地证明 √2(e-2)>1 ？

无脑泰勒一下：

e^{x} \geq 1 + x + \dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{x^{3}}{6} + \dfrac{x^{4}}{24}(“x=0”)
e^{x} \geq 1 + x + \dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{x^{3}}{6} + \dfrac{x^{4}}{24}(“x=0”)

代入

\(x = 1\)
\(x = 1\)
，右边
\(1 + 1 + \frac{1^{2}}{2} + \frac{1^{3}}{6} + \frac{1^{4}}{24}=1 + 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=\frac{24 + 24 + 12 + 4 + 1}{24}=\frac{65}{24}\)
\(1 + 1 + \frac{1^{2}}{2} + \frac{1^{3}}{6} + \frac{1^{4}}{24}=1 + 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=\frac{24 + 24 + 12 + 4 + 1}{24}=\frac{65}{24}\)

有

2+\frac{\sqrt{2}}{2}<\frac{65}{24}<e
2+\frac{\sqrt{2}}{2}<\frac{65}{24}<e

详细方法和高考下的题目来源见

高中数列放缩（1）——黎曼 Zeta 函数 ζ (3/2)的上界估计

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