来源：2024高三上学期天域联考的19题

黎曼
\zeta
\zeta
函数
\zeta(s)
\zeta(s)
与数论中的素数分布定理和黎曼猜想密切相关．
\zeta(s)
\zeta(s)
是这样定义的：记
\text{Re}(s)
\text{Re}(s)
为复数
s
s
的实部，
\psi_{k}(s)=\sum\limits_{n = 1}^{k}\frac{1}{n^{s}}(n\in\mathbf{N}^{*})
\psi_{k}(s)=\sum\limits_{n = 1}^{k}\frac{1}{n^{s}}(n\in\mathbf{N}^{*})
，当
\text{Re}(s)>1
\text{Re}(s)>1
时，有
\zeta(s)=\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}\psi_{k}(s)
\zeta(s)=\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}\psi_{k}(s)
，故
\psi_{k}(s)
\psi_{k}(s)
对
\zeta(s)
\zeta(s)
的研究具有重要意义．
（1）已知对任意正整数
n
n
，都存在唯一的整数
a_{n}
a_{n}
和
b_{n}
b_{n}
，使得
n = a_{n}\times2^{b_{n}}
n = a_{n}\times2^{b_{n}}
，其中
a_{n}
a_{n}
为奇数，
b_{n}
b_{n}
为自然数，求
\sum\limits_{n = 1}^{10}(a_{n}+b_{n})
\sum\limits_{n = 1}^{10}(a_{n}+b_{n})
；
（2）试判断是否存在正整数
k
k
，使得
\psi_{k}(1)=2024
\psi_{k}(1)=2024
，并证明你的结论；
（3）求证：
\psi_{k}\left(\frac{3}{2}\right)<3
\psi_{k}\left(\frac{3}{2}\right)<3
．

第三问即证明

\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{k\sqrt{k}}<3
\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{k\sqrt{k}}<3

我们熟知，对于

\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}
\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}
的求和估计，我们在初等有糖水放缩、利用共轭分子有理化的方法，如
\dfrac{1}{\sqrt{k}} = \dfrac{2}{2\sqrt{k}} < \dfrac{2}{\sqrt{k - 1} + \sqrt{k + 1}} = \sqrt{k + 1} - \sqrt{k - 1}\\
\dfrac{1}{\sqrt{k}} = \dfrac{2}{2\sqrt{k}} < \dfrac{2}{\sqrt{k - 1} + \sqrt{k + 1}} = \sqrt{k + 1} - \sqrt{k - 1}\\

对分母进行不同形式的放缩我们可以得到一系列共轭放缩式，不限上这一种，可根据要证命题调整。

对这类分式的求和，在高等的背景下我们有积分放缩。利用定积分的几何意， 矩形面积和与曲线下面积的比较，有

\int_{1}^{n + 1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx < \sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} < 1 + \int_{1}^{n}\frac{1}{\sqrt{x}}dx\\
\int_{1}^{n + 1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx < \sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} < 1 + \int_{1}^{n}\frac{1}{\sqrt{x}}dx\\

即得

2\sqrt{n + 1}-2 < \sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} < 2\sqrt{n}-1\\
2\sqrt{n + 1}-2 < \sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}} < 2\sqrt{n}-1\\

对于

\frac{1}{n\sqrt{n}}
\frac{1}{n\sqrt{n}}
的求和，我们尝试同样的放缩方法：

初等方法1

考虑分开放缩做一个尝试，观察到对n也有一个放缩方法，

\begin{align*} \frac{1}{n\sqrt{n}}&<\frac{2}{n(\sqrt{n - 1}+\sqrt{n + 1})}\\ &=\frac{1}{n}(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n - 1})\\ &<\frac{1}{\sqrt{n - 1}\sqrt{n + 1}}(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n - 1})\\ &=\frac{1}{\sqrt{n - 1}}-\frac{1}{\sqrt{n + 1}} \end{align*}
\begin{align*} \frac{1}{n\sqrt{n}}&<\frac{2}{n(\sqrt{n - 1}+\sqrt{n + 1})}\\ &=\frac{1}{n}(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n - 1})\\ &<\frac{1}{\sqrt{n - 1}\sqrt{n + 1}}(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n - 1})\\ &=\frac{1}{\sqrt{n - 1}}-\frac{1}{\sqrt{n + 1}} \end{align*}

这里用到了

\dfrac{b - a}{ab} = \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}
\dfrac{b - a}{ab} = \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}
也可以构造出望远镜结构裂项

\frac{f(n + 1)-f(n - 1)}{f(n - 1)f(n + 1)}=\frac{1}{f(n - 1)}-\frac{1}{f(n + 1)}
\frac{f(n + 1)-f(n - 1)}{f(n - 1)f(n + 1)}=\frac{1}{f(n - 1)}-\frac{1}{f(n + 1)}

于是

\begin{align*} \psi_{k}\left(\frac{3}{2}\right)&=1+\sum_{k = 2}^{n}\frac{1}{k\sqrt{k}}\\ &<1+\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n + 1}}\right)\\ &=2+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n + 1}}\\ &<2+\frac{\sqrt{2}}{2}<3 \end{align*}
\begin{align*} \psi_{k}\left(\frac{3}{2}\right)&=1+\sum_{k = 2}^{n}\frac{1}{k\sqrt{k}}\\ &<1+\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n + 1}}\right)\\ &=2+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n + 1}}\\ &<2+\frac{\sqrt{2}}{2}<3 \end{align*}

命题即

\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{k\sqrt{k}}<3\\
\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{k\sqrt{k}}<3\\
优雅的方法需要大量的尝试

这里再贴一个初等另解和积分放缩做法

初等方法2

要完成

\psi_{k}\left(\frac{3}{2}\right)=\sum_{n = 1}^{k}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}<3
\psi_{k}\left(\frac{3}{2}\right)=\sum_{n = 1}^{k}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}<3
的放缩证明，过程如下：

先证明

2n^{3}-n(n + 1)\left(n+\frac{1}{2}\right)>0
2n^{3}-n(n + 1)\left(n+\frac{1}{2}\right)>0
：

\begin{align*} 2n^{3}-n(n + 1)\left(n+\frac{1}{2}\right)&=2n^{3}-n\left(n^{2}+\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)\\ &=2n^{3}-n^{3}-\frac{3}{2}n^{2}-\frac{1}{2}n\\ &=n^{3}-\frac{3}{2}n^{2}-\frac{1}{2}n\\ &=\frac{1}{2}n(2n^{2}-3n - 1) \end{align*}
\begin{align*} 2n^{3}-n(n + 1)\left(n+\frac{1}{2}\right)&=2n^{3}-n\left(n^{2}+\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)\\ &=2n^{3}-n^{3}-\frac{3}{2}n^{2}-\frac{1}{2}n\\ &=n^{3}-\frac{3}{2}n^{2}-\frac{1}{2}n\\ &=\frac{1}{2}n(2n^{2}-3n - 1) \end{align*}

当

n\geq2
n\geq2
时，
2n^{2}-3n - 1 = 2\times4 - 6 - 1=1>0
2n^{2}-3n - 1 = 2\times4 - 6 - 1=1>0
，
n>0
n>0
，

有

\frac{1}{2}n(2n^{2}-3n - 1)>0
\frac{1}{2}n(2n^{2}-3n - 1)>0
，

即

2n^{3}>n(n + 1)\left(n+\frac{1}{2}\right)
2n^{3}>n(n + 1)\left(n+\frac{1}{2}\right)

两边同时开方可得

\sqrt{2}n^{\frac{3}{2}}>\left(n(n + 1)\left(n+\frac{1}{2}\right)\right)^{\frac{1}{2}}
\sqrt{2}n^{\frac{3}{2}}>\left(n(n + 1)\left(n+\frac{1}{2}\right)\right)^{\frac{1}{2}}
，

取倒数后得到：

\frac{1}{\sqrt{2}n^{\frac{3}{2}}}<\frac{1}{\left(n(n + 1)\left(n+\frac{1}{2}\right)\right)^{\frac{1}{2}}}
\frac{1}{\sqrt{2}n^{\frac{3}{2}}}<\frac{1}{\left(n(n + 1)\left(n+\frac{1}{2}\right)\right)^{\frac{1}{2}}}
。

\begin{align*} \left(n(n + 1)\left(n+\frac{1}{2}\right)\right)^{\frac{1}{2}}&=\left(\frac{1}{2}(n^{2}(n + 1)+n(n + 1)^{2})\right)^{\frac{1}{2}}\\ &>\frac{\sqrt{n^{2}(n + 1)}+\sqrt{n(n + 1)^{2}}}{2}\\ &=\frac{1}{2}(\sqrt{n}+\sqrt{n + 1})\sqrt{n(n + 1)} \end{align*}
\begin{align*} \left(n(n + 1)\left(n+\frac{1}{2}\right)\right)^{\frac{1}{2}}&=\left(\frac{1}{2}(n^{2}(n + 1)+n(n + 1)^{2})\right)^{\frac{1}{2}}\\ &>\frac{\sqrt{n^{2}(n + 1)}+\sqrt{n(n + 1)^{2}}}{2}\\ &=\frac{1}{2}(\sqrt{n}+\sqrt{n + 1})\sqrt{n(n + 1)} \end{align*}

取两边倒数得

\dfrac{1}{\left(n(n + 1)\left(n+\dfrac{1}{2}\right)\right)^{\dfrac{1}{2}}}<\dfrac{2}{(\sqrt{n}+\sqrt{n + 1})\sqrt{n(n + 1)}}
\dfrac{1}{\left(n(n + 1)\left(n+\dfrac{1}{2}\right)\right)^{\dfrac{1}{2}}}<\dfrac{2}{(\sqrt{n}+\sqrt{n + 1})\sqrt{n(n + 1)}}

接下来同1裂项：

\begin{align*} \frac{2}{(\sqrt{n}+\sqrt{n + 1})\sqrt{n(n + 1)}}&=\frac{2(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n})}{\sqrt{n(n + 1)}}\\ &=2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n + 1}}\right) \end{align*}
\begin{align*} \frac{2}{(\sqrt{n}+\sqrt{n + 1})\sqrt{n(n + 1)}}&=\frac{2(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n})}{\sqrt{n(n + 1)}}\\ &=2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n + 1}}\right) \end{align*}

于是

\begin{align*} \psi_{k}\left(\frac{3}{2}\right)&=1+\sum_{n = 2}^{k}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\\ &<1 + 2\sqrt{2}\sum_{n = 2}^{k}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n + 1}}\right)\\ &=1 + 2\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{k + 1}}\right)\\ &<1 + 2\sqrt{2}\times\frac{1}{\sqrt{2}}=1 + 2 = 3\\ \end{align*}
\begin{align*} \psi_{k}\left(\frac{3}{2}\right)&=1+\sum_{n = 2}^{k}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\\ &<1 + 2\sqrt{2}\sum_{n = 2}^{k}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n + 1}}\right)\\ &=1 + 2\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{k + 1}}\right)\\ &<1 + 2\sqrt{2}\times\frac{1}{\sqrt{2}}=1 + 2 = 3\\ \end{align*}

积分放缩

初等方法2的证法是很不自然的，它直接给出了一个不等式

2n^{3}-n(n + 1)\left(n+\frac{1}{2}\right)>0
2n^{3}-n(n + 1)\left(n+\frac{1}{2}\right)>0

实际上，

函数

f(x)=\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}
f(x)=\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}
，它在区间
[1,+\infty)
[1,+\infty)
上单调递减。

和式与积分的大小关系满足：

\int_{1}^{k + 1}f(x)dx<\sum_{n = 1}^{k}f(n)<f(1)+\int_{1}^{k}f(x)dx\\
\int_{1}^{k + 1}f(x)dx<\sum_{n = 1}^{k}f(n)<f(1)+\int_{1}^{k}f(x)dx\\
  • 左积分：
    \int_{1}^{k + 1}\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}dx=\left[-\frac{2}{\sqrt{x}}\right]_{1}^{k + 1}=-\frac{2}{\sqrt{k + 1}}-\left(-\frac{2}{\sqrt{1}}\right)=2-\frac{2}{\sqrt{k + 1}}
    \int_{1}^{k + 1}\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}dx=\left[-\frac{2}{\sqrt{x}}\right]_{1}^{k + 1}=-\frac{2}{\sqrt{k + 1}}-\left(-\frac{2}{\sqrt{1}}\right)=2-\frac{2}{\sqrt{k + 1}}
  • 右积分：
    \int_{1}^{k}\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}dx=\left[-\frac{2}{\sqrt{x}}\right]_{1}^{k}=-\frac{2}{\sqrt{k}}-\left(-\frac{2}{\sqrt{1}}\right)=2-\frac{2}{\sqrt{k}}
    \int_{1}^{k}\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}dx=\left[-\frac{2}{\sqrt{x}}\right]_{1}^{k}=-\frac{2}{\sqrt{k}}-\left(-\frac{2}{\sqrt{1}}\right)=2-\frac{2}{\sqrt{k}}

其中

f(1)=1
f(1)=1
，因此右侧不等式即：

\sum_{n = 1}^{k}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}<1+\left(2-\frac{2}{\sqrt{k}}\right)=3-\frac{2}{\sqrt{k}}\\
\sum_{n = 1}^{k}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}<1+\left(2-\frac{2}{\sqrt{k}}\right)=3-\frac{2}{\sqrt{k}}\\

由于

k
k
是正整数，
3-\frac{2}{\sqrt{k}}<3
3-\frac{2}{\sqrt{k}}<3

从而：

\sum_{n = 1}^{k}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}<3\\
\sum_{n = 1}^{k}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}<3\\

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