已知
\(x,y\)
\(x,y\)
满足
\(\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)\left(\sqrt{y^{2}+4}-y\right)=2\)
\(\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)\left(\sqrt{y^{2}+4}-y\right)=2\)
，求
\(4^{x}+2^{y - 1}\)
\(4^{x}+2^{y - 1}\)
的最小值.

早就看到这道网红题了，但是好像没有人发共轭的写法，基本上是解方程之类的。正好放假了就写一下发。

这个两个相乘的表达式是很容易看出有猫腻的，

即

\sqrt{x^{2}+1}-x
\sqrt{x^{2}+1}-x
中
\sqrt{x^{2}+1}
\sqrt{x^{2}+1}
与
x
x
满足
(\sqrt{x^{2}+1})^{2}-x^{2}
(\sqrt{x^{2}+1})^{2}-x^{2}
是常数

同理对

\sqrt{y^{2}+4}-y
\sqrt{y^{2}+4}-y
有
(\sqrt{y^{2}+4})^{2}-y^{2}
(\sqrt{y^{2}+4})^{2}-y^{2}
也是常数

因此考虑对条件共轭转换一下，最后会得到一个新的等式

\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x} \cdot \frac{4}{\sqrt{y^2 + 4} + y} = 2 \\
\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x} \cdot \frac{4}{\sqrt{y^2 + 4} + y} = 2 \\

即

(\sqrt{x^2 + 1} + x)(\sqrt{y^2 + 4} + y) = 2\dots ②\\
(\sqrt{x^2 + 1} + x)(\sqrt{y^2 + 4} + y) = 2\dots ②\\

原条件

\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)\left(\sqrt{y^{2}+4}-y\right)=2 \dots①\\
\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)\left(\sqrt{y^{2}+4}-y\right)=2 \dots①\\
由①，

\sqrt{x^{2}+1}-x = \frac{2}{\sqrt{y^{2}+4}-y} = \frac{1}{2}(\sqrt{y^{2}+4}+y)\\
\sqrt{x^{2}+1}-x = \frac{2}{\sqrt{y^{2}+4}-y} = \frac{1}{2}(\sqrt{y^{2}+4}+y)\\
由②，

\sqrt{x^{2}+1}+x = \frac{2}{\sqrt{y^2 + 4} + y} = \frac{\sqrt{y^{2}+4}-y}{2} \\
\sqrt{x^{2}+1}+x = \frac{2}{\sqrt{y^2 + 4} + y} = \frac{\sqrt{y^{2}+4}-y}{2} \\
上下两方程作差即得
y = -2x
y = -2x

接下来只需代入消元，

\(4^x + 2^{-2x - 1} \geq 2\sqrt{4^x \cdot 2^{-2x - 1}} = 2\sqrt{2^{2x} \cdot 2^{-2x - 1}} = 2\sqrt{2^{-1}} = \sqrt{2}\)
\(4^x + 2^{-2x - 1} \geq 2\sqrt{4^x \cdot 2^{-2x - 1}} = 2\sqrt{2^{2x} \cdot 2^{-2x - 1}} = 2\sqrt{2^{-1}} = \sqrt{2}\)

故填

\boxed{\sqrt{2}}
\boxed{\sqrt{2}}

这样做会比普通做法计算上快一点。

这个就是初中数学竞赛常用的一个代数技巧，没想到会出在高三的模拟里面，很老的题了哈哈

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