一、学习目标

  1. 深入理解一次函数和正比例函数的概念，能够精准判断给定函数是否为一次函数或正比例函数。
  2. 熟练掌握根据已知条件确定一次函数表达式的方法，包括待定系数法等。
  3. 透彻理解一次函数的图象特征，能准确画出一次函数的图象，并清晰掌握其性质。
  4. 能够灵活运用一次函数知识解决实际生活中的问题，提升数学应用能力。

二、知识回顾

（一）函数的概念

在一个变化过程中，如果有两个变量

x
x
)与
y
y
，并且对于
x
x
)的每一个确定的值，
y
y
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说
x
x
是自变量，
y
y
是
x
x
的函数。

函数是变量间的关系

（二）函数的表示方法

  1. 解析式法：用数学式（等式）表示两个变量之间的函数关系。
  2. 列表法：通过列出表格来表示两个变量之间的函数关系。
  3. 图象法：用图象来表示两个变量之间的函数关系。

三、新知识探究

（一）一次函数的定义

  1. 一般地，形如
    \(y = kx + b\)
    \(y = kx + b\)
    （
    k,b
    k,b
    是常数，
    \(k\neq0\)
    \(k\neq0\)
    ）的函数，叫做一次函数。其中
    x
    x
    是自变量，
    y
    y
    是因变量。当
    \(b = 0\)
    \(b = 0\)
    时，即
    \(y = kx\)
    \(y = kx\)
    \(k\)
    \(k\)
    为常数且
    (k\neq0)
    (k\neq0)
    ，此时
    y
    y
    )是
    x
    x
    的正比例函数。

（二）确定一次函数表达式

  1. 待定系数法：
  • 先设出函数表达式，再根据已知条件确定表达式中未知的系数，从而得出函数表达式的方法，叫做待定系数法。
  • 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：
    • 设：设出一次函数表达式
      \(y = kx + b\)
      \(y = kx + b\)
      。
    • 代：将已知点的坐标代入函数表达式，得到关于
      \(k\)
      \(k\)
      ，
      \(b\)
      \(b\)
      的二元一次方程组。
    • 解：解方程组
    • 写：将求出的
      k
      k
      ，
      b
      b
      的值代入所设的表达式中，写出函数表达式。
  • 例题讲解：

已知一次函数的图象经过点

\((1,3)\)
\((1,3)\)
和
\(( - 1, - 1)\)
\(( - 1, - 1)\)
，求这个一次函数的表达式。

    • 设这个一次函数的表达式为
      \(y = kx + b\)
      \(y = kx + b\)
      （
      \(k\neq0\)
      \(k\neq0\)
      ）。
    • 把点
      (1,3)
      (1,3)
      )和
      ( - 1, - 1)
      ( - 1, - 1)
      分别代入
      \(y = kx + b\)
      \(y = kx + b\)
      中，得到方程组
      \(\begin{cases}k + b = 3 \\ - k + b = - 1 \end{cases}\)
      \(\begin{cases}k + b = 3 \\ - k + b = - 1 \end{cases}\)
      。
    • 解方程组：
      • 解得
        b = 1
        b = 1
        k=2
        k=2
    • 所以这个一次函数的表达式为
      \(y = 2x + 1\)
      \(y = 2x + 1\)
      。

（三）一次函数的图象

  1. 一次函数图象的形状：一次函数的图象是一条直线
  2. 一次函数图象的画法

两点法：通常取直线与

x
x
轴、
y
y
轴的交点来画直线。

求直线

y = kx + b
y = kx + b
与
x
x
轴的交点，令
y = 0
y = 0
，则
kx + b = 0
kx + b = 0
，解得
x = - \dfrac{b}{k}
x = - \dfrac{b}{k}
，所以与
x
x
轴的交点坐标为
\left( - \dfrac{b}{k},0 \right)
\left( - \dfrac{b}{k},0 \right)
。 - 求直线
y = kx + b
y = kx + b
与
y
y
轴的交点，令
x = 0
x = 0
，则
y = b
y = b
，所以与
y
y
轴的交点坐标为
(0,b)
(0,b)
。

例如：画函数

y = 2x - 3
y = 2x - 3
的图象。

1. 令

y = 0
y = 0
，则
2x - 3 = 0
2x - 3 = 0
，解得
x = \frac{3}{2}
x = \frac{3}{2}
，所以与
x
x
轴的交点坐标为
\left( \dfrac{3}{2},0 \right)
\left( \dfrac{3}{2},0 \right)
。

2. 令

x = 0
x = 0
，则
y = - 3
y = - 3
，所以与
y
y
轴的交点坐标为
(0, - 3)
(0, - 3)
。 3. 在平面直角坐标系中，描出点
\left( \dfrac{3}{2},0 \right)
\left( \dfrac{3}{2},0 \right)
和
(0, - 3)
(0, - 3)
，过这两点画直线，就得到函数
y = 2x - 3
y = 2x - 3
的图象。

二、一次函数图象的性质

对于一次函数

y = kx + b
y = kx + b
（
k \neq 0
k \neq 0
）：

1. 增减性： 当

k \gt 0
k \gt 0
时，直线从左到右上升，
y
y
随
x
x
的增大而增大。

当

k \lt 0
k \lt 0
时，直线从左到右下降，
y
y
随
x
x
的增大而减小。

2. 与

y
y
轴交点位置：

当

b \gt 0
b \gt 0
时，直线与
y
y
轴交于正半轴；

当

b \lt 0
b \lt 0
时，直线与
y
y
轴交于负半轴；

当

b = 0
b = 0
时，直线经过原点。

3. 经过象限：

当

k \gt 0
k \gt 0
，
b \gt 0
b \gt 0
时，图象经过一、二、三象限。

当

k \gt 0
k \gt 0
，
b \lt 0
b \lt 0
时，图象经过一、三、四象限。

当

k \lt 0
k \lt 0
，
b \gt 0
b \gt 0
时，图象经过一、二、四象限。

当

k \lt 0
k \lt 0
，
b \lt 0
b \lt 0
时，图象经过二、三、四象限。

三、一次函数与正比例函数的关系

  • 正比例函数是特殊的一次函数，当一次函数
    y = kx + b
    y = kx + b
    中的
    b = 0
    b = 0
    时，就变成了正比例函数
    y = kx
    y = kx
    。
  • 一次函数
    y = kx + b
    y = kx + b
    的图象是一条直线，而正比例函数
    y = kx
    y = kx
    的图象是经过原点
    (0,0)
    (0,0)
    的一条直线。

四、课堂练习

  1. 下列函数中，是一次函数的是（ ） A.
    y = \dfrac{1}{x}
    y = \dfrac{1}{x}
    B.
    y = x^2 + 1
    y = x^2 + 1
    C.
    y = 2x - 1
    y = 2x - 1
    D.
    y = \sqrt{x}
    y = \sqrt{x}
  2. 已知函数
    y = (m - 3)x + m^2 - 9
    y = (m - 3)x + m^2 - 9
    是正比例函数，则
    m
    m
    的值为（ ） A.
    3
    3
    B.
    -3
    -3
    C.
    \pm 3
    \pm 3
    D. 0
  3. 一次函数
    y = - 2x + 3
    y = - 2x + 3
    的图象与
    x
    x
    轴的交点坐标是（ ），与
    y
    y
    轴的交点坐标是（ ）。
  4. 已知一次函数
    y = kx + b
    y = kx + b
    的图象经过点
    (2,5)
    (2,5)
    和
    ( - 1, - 1)
    ( - 1, - 1)
    ，求这个一次函数的表达式。
  5. 若一次函数
    y = (2m - 1)x + 3 - m
    y = (2m - 1)x + 3 - m
    的图象经过一、二、四象限，则
    m
    m
    的取值范围是（ ）。

五、课堂小结

  1. 一次函数的定义、表达式的确定方法。
  2. 一次函数图象的画法、性质以及与正比例函数的关系。

六、课后作业

1.已知函数

y = (2m + 1)x + m - 3
y = (2m + 1)x + m - 3
。

(1) 若函数图象经过原点，求

m
m
的值。

(2) 若函数图象与

y
y
轴的交点在
x
x
轴下方，求
m
m
的取值范围。

(3) 若函数图象经过第一、三、四象限，求

m
m
的取值范围。

2.已知直线

y = kx + b
y = kx + b
与直线
y = - 2x
y = - 2x
平行，且经过点
(1,2)
(1,2)
，求这条直线的表达式。

3.某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费

y
y
（元）是行李质量
x
x
（
kg
kg
）的一次函数。已知李明带了
60kg
60kg
的行李，交了行李费
5
5
元；张华带了
90kg
90kg
的行李，交了行李费
10
10
元。

(1)写出

y
y
与
x
x
之间的函数表达式。

(2)旅客最多可免费携带多少千克的行李？

4.某品牌手机充满电后，剩余电量 y （单位：%）与使用时间 t （单位：h）的实验数据如下表：

数据记录第1次第2次第3次第4次第5次…
t （h）01234…
y （%）10092847568…

（1）判断 y 与 t 是否满足一次函数关系，若满足，求出函数解析式；若不满足，说明理由。
（2）当手机剩余电量为 30\% 时，该手机已使用了多长时间？

5.在研究某款遥控小车滑行特性时，记录了小车滑行距离 s （单位：m）与滑行前速度 v （单位：m/s）的实验数据：

数据记录第1次第2次第3次第4次第5次…
v （m/s）246810…
s （m）0.524.5812.5…

（1）猜想 s 与 v 满足的函数类型，求出函数解析式。
（2）当小车滑行前速度为 12m/s 时，预测其滑行距离。

6.观察室内植物生长情况，记录植物高度 h （单位：cm）与生长天数 d （单位：天）的数据：

数据记录第1次第2次第3次第4次第5次…
d （天）05101520…
h （cm）10131619.523…

（1）分析 h 与 d 的函数关系，求出解析式。
（2）若植物高度要达到 32cm ，需要生长多少天？

7.某快递公司研究同城配送成本 C （单位：元）与配送距离 x （单位：km）的关系，实验数据如下：

数据记录第1次第2次第3次第4次第5次…
x （km）357911…
C （元）8111417.521…

（1）确定 C 与 x 的函数解析式。
（2）当配送距离为 15km 时，预计配送成本是多少？

8.探究弹簧伸长特性，记录弹簧伸长量

\Delta L
\Delta L
（单位：cm）与所挂物体质量 m （单位：kg）的数据：

数据记录第1次第2次第3次第4次第5次…
m （kg）01234…
△ L （cm）00.81.62.53.2…

（1）判断

\Delta L
\Delta L
与 m 的函数关系并求解析式。
（2）当弹簧伸长量为 5cm 时，所挂物体质量是多少？

数字规律与代数证明系列

题目1：十位和为10、个位相同的两位数乘法规律

规律观察：
计算等式：

15×95 = 1425
15×95 = 1425
（
1×9 + 5 = 14
1×9 + 5 = 14
，
5² = 25
5² = 25
）；
24×84 = 2016
24×84 = 2016
（
2×8 + 4 = 20
2×8 + 4 = 20
，
4² = 16
4² = 16
）；
33×73 = 2409
33×73 = 2409
（
3×7 + 3 = 24
3×7 + 3 = 24
，
3² = 09
3² = 09
）。

（1）计算

42×62 = \boldsymbol{\_\_\_\_}
42×62 = \boldsymbol{\_\_\_\_}
（按规律推导，再验证）。

（2）规律概括并证明


Ans

1.设两数十位为

m
m
和
10-m
10-m
（
m
m
是1~9的整数），个位均为
n
n
（
n
n
是0~9的整数），表示为
10m + n
10m + n
和
10(10-m) + n
10(10-m) + n
。 ① 规律概括：
\boldsymbol{(10m + n)\left[10(10-m) + n\right] = 100\left[m(10-m) + n\right] + n^2}
\boldsymbol{(10m + n)\left[10(10-m) + n\right] = 100\left[m(10-m) + n\right] + n^2}
② 证明：
\begin{align*} (10m + n)\left[10(10-m) + n\right] &= (10m + n)(100 - 10m + n) \\ &= 1000m - 100m^2 + 10mn + 100n - 10mn + n^2 \\ &= -100m^2 + 1000m + 100n + n^2 \\ &= 100\left(-m^2 + 10m + n\right) + n^2 \\ &= 100\left[m(10 - m) + n\right] + n^2 \end{align*}
\begin{align*} (10m + n)\left[10(10-m) + n\right] &= (10m + n)(100 - 10m + n) \\ &= 1000m - 100m^2 + 10mn + 100n - 10mn + n^2 \\ &= -100m^2 + 1000m + 100n + n^2 \\ &= 100\left(-m^2 + 10m + n\right) + n^2 \\ &= 100\left[m(10 - m) + n\right] + n^2 \end{align*}

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