定义

设

a、b
a、b
是整数，
b≠0
b≠0
，如果一个整数
q
q
，使得
a=bq
a=bq
，那么称
a
a
能被
b
b
整除，或
b
b
能整除
a
a
，记作
b|a
b|a
，又称
b
b
为
a
a
的约数

数的整除性的常见特征

（1）被2整除的数的特征：个位数字是偶数；

（2）被5整除的数的特征：个位数字是0或5；

（3）被4整除的数的特征：末两位数能被4整除；

（4）被3（或9）整除的数的特征：各位数字之和能被3（或9）整除；

练习

  1. 判断 45 能否被 5 整除？

2.36 能被 2 整除吗？为什么？

3.78 是不是 3 的倍数？请说明理由

4.9876543210是否是15的倍数？

5.判断 728 能否被 4 整除？

6. 1232能否被8整除？请说明理由。

7.587426是否是六的倍数？

8. 567能被9整除吗？请写出判断过程。

9.证明：若整数

\(a\)
\(a\)
能被
\(3\)
\(3\)
整除，整数
\(b\)
\(b\)
能被
\(3\)
\(3\)
整除，则
\(a + 2b\)
\(a + 2b\)
能被
\(3\)
\(3\)
整除

10. 一个数的各位数字之和是18，这个数一定能被哪些数整除？（至少写2个）

11. 三位数2□4中，□填什么数字时，这个数能被3整除？（写出所有可能）

12. 7890能同时被2和5整除吗？请说明理由。

（1）

若

a
a
能被
b
b
整除，且
b
b
能被
c
c
整除，则
a
a
能被
c
c
整除 。

（2）

若

a
a
能被
c
c
整除，且
b
b
能被
c
c
整除，则
a + b
a + b
能被
c
c
整除，
a - b
a - b
也能被
c
c
整除 。

（3）

若

a
a
能被
c
c
整除，但
b
b
不能被
c
c
整除，则
a + b
a + b
不能被
c
c
整除，
a - b
a - b
也不能被
c
c
整除 。

（4）

若

a
a
能被
b
b
整除，则
ac
ac
（
c
c
为整数）能被
b
b
整除 。

（5）

当

c \neq 0
c \neq 0
时：
若
a
a
能被
b
b
整除，那么
ac
ac
能被
bc
bc
整除；
反过来，若
ac
ac
能被
bc
bc
整除，那么
a
a
能被
b
b
整除 。

练习

证明：对于任意整数

k
k
，
(2k + 1)^2 - 1
(2k + 1)^2 - 1
能被
8
8
整除

已知

n
n
是整数，证明：
n(n + 1)
n(n + 1)
能被
2
2
整除

证明：若

a
a
能被
b
b
整除，
c
c
能被
d
d
整除，则
ac
ac
能被
bd
bd
整除

设

m
m
、
n
n
为整数，且
m
m
能被
5
5
整除，证明：
m + 5n
m + 5n
能被
5
5
整除

证明：对于任意整数

n
n
，
n^3 - n
n^3 - n
能被
6
6
整除

已知

a
a
、
b
b
是整数，且
a
a
能被
c
c
整除，
b
b
不能被
c
c
整除，证明：
a - b
a - b
不能被
c
c
整除

证明：若

a
a
和
b
b
互质，且
a
a
能被
c
c
整除，
b
b
能被
c
c
整除，则
c = \pm1
c = \pm1

设

p
p
是质数，若
p
p
能整除
ab
ab
，且
p
p
不能整除
a
a
，证明：
p
p
能整除
b
b

证明：对于任意整数

n
n
，
4
4
能整除
(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)
(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)

已知

a
a
能被
b
b
整除，
c
c
是不为0的整数，证明：
ac
ac
能被
bc
bc
整除

证明：若

a
a
能被
b
b
整除，且
d
d
能被
c
c
整除，则
ad
ad
能被
bc
bc
整除

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