测试：

一、

1.

|x| = 5\
|x| = 5\

2.

|3x| = 9
|3x| = 9

3.

|x - 2| = 3\
|x - 2| = 3\

4.

|2x + 1| = 7
|2x + 1| = 7

二、

|x| = 3x - 2
|x| = 3x - 2

|2x - 5| = x + 1
|2x - 5| = x + 1

三、

|x + 3| + |x - 1| = 6
|x + 3| + |x - 1| = 6

|2x - 1| + |x + 2| = 7
|2x - 1| + |x + 2| = 7

\vert x - 2\vert + \vert x + 1\vert = 4
\vert x - 2\vert + \vert x + 1\vert = 4

四、

2|x - 3| + 5 = 13
2|x - 3| + 5 = 13

|x - |3x + 1|| = 4
|x - |3x + 1|| = 4

解形如
\vert ax + b\vert + \vert cx + d\vert = m
\vert ax + b\vert + \vert cx + d\vert = m
的方程时，按以下步骤进行：

  1. 找分界点：分别令
    ax + b = 0
    ax + b = 0
    、
    cx + d = 0
    cx + d = 0
    ，设这两个方程的解为
    x_1
    x_1
    、
    x_2
    x_2
    （满足
    x_1 < x_2
    x_1 < x_2
    ）。
  2. 分区间讨论：将 x 的取值范围分为三段：
    x \leq x_1
    x \leq x_1
    、
    x_1 < x < x_2
    x_1 < x < x_2
    、
    x \geq x_2
    x \geq x_2
    。
  3. 去绝对值求解：对每一段范围，去掉原方程的绝对值符号，转化为一元一次方程求解。

例6 解方程
\vert x - 2\vert + \vert x + 1\vert = 4
\vert x - 2\vert + \vert x + 1\vert = 4

解析：

  • 第一步：找分界点
    令
    x - 2 = 0
    x - 2 = 0
    ，解得
    x = 2
    x = 2
    ；
    令
    x + 1 = 0
    x + 1 = 0
    ，解得
    x = -1
    x = -1
    。
    因此，分界点为
    x = -1
    x = -1
    和
    x = 2
    x = 2
    ，将
    x
    x
    分为三段讨论。
  • 第二段：分区间去绝对值求解
    ① 当
    x \geq 2
    x \geq 2
    时    ：
    绝对值内表达式均非负，原方程可化为：
    x - 2 + x + 1 = 4
    x - 2 + x + 1 = 4

    化简得：
    2x - 1 = 4
    2x - 1 = 4
    ，解得
    x = \dfrac{5}{2}
    x = \dfrac{5}{2}
    （满足
    x \geq 2
    x \geq 2
    ，有效）

② 当

-1 < x < 2
-1 < x < 2
时：
\vert x - 2\vert
\vert x - 2\vert
为负（去绝对值后变号），
\vert x + 1\vert
\vert x + 1\vert
为正（去绝对值后不变），原方程可化为：
-x + 2 + x + 1 = 4
-x + 2 + x + 1 = 4

化简得：
3 = 4
3 = 4
（矛盾，无解）。

③ 当

x \leq -1
x \leq -1
时：
绝对值内表达式均为负（去绝对值后均变号），原方程可化为：
-x + 2 - x - 1 = 4
-x + 2 - x - 1 = 4

化简得：
-2x + 1 = 4
-2x + 1 = 4
，解得
x = -\frac{3}{2}
x = -\frac{3}{2}
（满足
x \leq -1
x \leq -1
，有效）。

  • 第三步：综合讨论
    原方程的解为
    x = \frac{5}{2}
    x = \frac{5}{2}
    或
    x = -\frac{3}{2}
    x = -\frac{3}{2}

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