完全平方公式的知二推三与换元思想

回顾

  1. 对于
    (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy
    (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy
    ：
    已知
    x + y
    x + y
    、
    x^2 + y^2
    x^2 + y^2
    、
    xy
    xy
    中的任意两个量，可求出第三个量。
  2. 对于
    (x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy
    (x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy
    ：
    已知
    x - y
    x - y
    、
    x^2 + y^2
    x^2 + y^2
    、
    xy
    xy
    中的任意两个量，可求出第三个量。
  3. 特殊形式
    (x + \frac{1}{x})^2
    (x + \frac{1}{x})^2
    与
    (x - \frac{1}{x})^2
    (x - \frac{1}{x})^2
    ：
    因
    x \cdot \frac{1}{x} = 1
    x \cdot \frac{1}{x} = 1
    （乘积为常数1），故：
    已知
    x + \frac{1}{x}
    x + \frac{1}{x}
    可直接求出
    x - \frac{1}{x}
    x - \frac{1}{x}
    ，已知
    x - \frac{1}{x}
    x - \frac{1}{x}
    也可直接求出
    x + \frac{1}{x}
    x + \frac{1}{x}
    （无需解二次方程）

  4. 换元思想核心：

用新变量替代重复出现的复杂表达式，将原问题转化为关于新变量的简单运算，避免直接展开或代入的繁琐。

用新变量的等式性质看清内在联系

训练

1.已知

\dfrac{x}{x^2 - x + 1} = \dfrac{1}{3}
\dfrac{x}{x^2 - x + 1} = \dfrac{1}{3}
，求
\dfrac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}
\dfrac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}
的值.

小结

2.已知

\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = 3
\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = 3
，求
x + \dfrac{1}{x}
x + \dfrac{1}{x}
.

小结

3.计算

\(\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} - 2} + \dfrac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} + 2}}\)
\(\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} - 2} + \dfrac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} + 2}}\)
的值

小结




4.已知
x^2 = 19x - 83
x^2 = 19x - 83
，求
(x - 7)^2 + \frac{1}{(x - 7)^2}
(x - 7)^2 + \frac{1}{(x - 7)^2}
的值

小结

拓展题——换元法

已知

x^3 + x^2 + x + 1 = 0
x^3 + x^2 + x + 1 = 0
，求
x^{2024} + x^{2023} + \cdots + x + 1
x^{2024} + x^{2023} + \cdots + x + 1
的值.

已知

x = \sqrt{7} - 1
x = \sqrt{7} - 1
，求
3x^3 + 12x^2 - 6x - 12
3x^3 + 12x^2 - 6x - 12
的值

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