换元思想

(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) - (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{2} + \sqrt{3})
(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) - (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{2} + \sqrt{3})

若

x = \frac{1}{2}\left[\sqrt{2020} - \frac{1}{\sqrt{2020}}\right]
x = \frac{1}{2}\left[\sqrt{2020} - \frac{1}{\sqrt{2020}}\right]
，求
\sqrt{x^2 + 1} + x
\sqrt{x^2 + 1} + x
的值

化简：

\dfrac{\left[ a - \dfrac{ac^2}{(a + b)^2} \right] \left[ 1 + \dfrac{c}{a + b} + \dfrac{c^2}{(a + b)^2} \right]}{\left( b + \dfrac{bc}{a + b} \right) \left[ 1 - \dfrac{c^3}{(a + b)^3} \right]}
\dfrac{\left[ a - \dfrac{ac^2}{(a + b)^2} \right] \left[ 1 + \dfrac{c}{a + b} + \dfrac{c^2}{(a + b)^2} \right]}{\left( b + \dfrac{bc}{a + b} \right) \left[ 1 - \dfrac{c^3}{(a + b)^3} \right]}

如果

\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} = 4
\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} = 4
，那么
\dfrac{(a + b)^2}{(a - b)^2}
\dfrac{(a + b)^2}{(a - b)^2}
的值为（ ）

执果索因

1.（1）

规定两数

m, n
m, n
的运算
[m, n]：若 m^k = n
[m, n]：若 m^k = n
，则
[m, n] = k
[m, n] = k
（如
[2, 8] = 3
[2, 8] = 3
，因
2^3 = 8
2^3 = 8
）。已知
[a, 16] + [a, 9] = [a, t]
[a, 16] + [a, 9] = [a, t]
（
a \gt 0 且 a \neq 1
a \gt 0 且 a \neq 1
），求
t
t
的值。

（2）

小明用积的乘方巧算：

(pq)^n = p^n q^n
(pq)^n = p^n q^n
。若
x = 3^2
x = 3^2
，
y = 2^4
y = 2^4
，请通过拆幂、换元，用
x 、 y
x 、 y
表示 6^8 。

2.已知

a \neq b
a \neq b
，且
a + \frac{1}{b} = b + \frac{1}{a}
a + \frac{1}{b} = b + \frac{1}{a}
，求 ab 的值；

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