原问题：解不等式：f(f(x))>f(x)？
x^{\cos x} 中底数 
x > 0 ，定义域 x > 0
令 
t = f(x) ，即解 
t^{\cos t} > t （ t > 0 ）
解 
t^{\cos t} > t （ t > 0 ）：
两边取对数：
当 
t > 1 时， 
\ln t > 0 ，不等式等价于 
\cos t > 1 无解
当 
0 < t < 1 时， 
\ln t < 0 ，不等式等价于 
\cos t < 1 。该式恒成立（ 
t > 0 时 
\cos t \leq 1 ，且仅当 
t = 2k\pi 时等号成立，而 
0< t < 1 时 
t \neq 2k\pi ）
当 
t = 1 时， 
1^{\cos 1} = 1 ， 无解
于是即解 
0 < x^{\cos x} < 1 （ x > 0 ) ，同样两边取自然对数：
当
0 < x < 1时
等价于 
\cos x > 0
由于 
0 < x < 1 < \dfrac{\pi}{2} 故 
x \in (0, \dfrac{\pi}{2}) ，而 
(0, 1) \subset (0, \dfrac{\pi}{2}) ，因此 
0 < x < 1 时， 
\cos x > 0 恒成立，即 
f(x) \in (0, 1)
当 x > 1 时：
\ln x > 0 ，故 
\cos x \cdot \ln x < 0 等价于 
\cos x < 0
\cos x < 0 的区间为 
(2k\pi + \dfrac{\pi}{2}, 2k\pi + \dfrac{3\pi}{2}) （ 
k \in \mathbb{N} ，因 
x > 1 ，取 
k \geq 0 ）
当 x = 1 时：
f(1) = 1^{\cos 1} = 1 ，无解
综上：
\boxed{(0, 1) \cup \bigcup_{k=0}^{\infty} \left( 2k\pi + \frac{\pi}{2},\ 2k\pi + \frac{3\pi}{2} \right)} （ 
k = 0, 1, 2, \dots ）
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