题目

已知
f(x)=x^{3}-x^{2}-2x
f(x)=x^{3}-x^{2}-2x
，若
f(\sin x)>f(\cos x)
f(\sin x)>f(\cos x)
，求
\tan x
\tan x
的取值范围

分析

f(x)
f(x)
的单调递增区间是
(-\infty,\frac{1 - \sqrt{7}}{3})\cup(\frac{1+\sqrt{7}}{3},+\infty)
(-\infty,\frac{1 - \sqrt{7}}{3})\cup(\frac{1+\sqrt{7}}{3},+\infty)
，单调递减区间是
(\frac{1 - \sqrt{7}}{3},\frac{1+\sqrt{7}}{3})
(\frac{1 - \sqrt{7}}{3},\frac{1+\sqrt{7}}{3})

f
f
在
[-1,1]
[-1,1]
不单调

因此若使用同构直接脱去法则

f
f
，则讨论相对麻烦，不如直接代入观察分析。

解题过程：


不妨限定

x\in[0,2\pi]
x\in[0,2\pi]

f(\sin x)>f(\cos x)\\
f(\sin x)>f(\cos x)\\

\Leftrightarrow\sin^{3}x - \cos^{3}x+(\cos x + \sin x)(\cos x - \sin x)+2(\cos x - \sin x)>0\\
\Leftrightarrow\sin^{3}x - \cos^{3}x+(\cos x + \sin x)(\cos x - \sin x)+2(\cos x - \sin x)>0\\
\Leftrightarrow(\sin x - \cos x)(1+\sin x\cos x - \cos x - \sin x - 2)>0\\
\Leftrightarrow(\sin x - \cos x)(1+\sin x\cos x - \cos x - \sin x - 2)>0\\
\Leftrightarrow(\sin x - \cos x)(\sin x\cos x - \cos x - \sin x - 1)>0\\
\Leftrightarrow(\sin x - \cos x)(\sin x\cos x - \cos x - \sin x - 1)>0\\

其中运用到立方差公式。

记

A = \sin x - \cos x
A = \sin x - \cos x
，
B=\sin x\cos x - \cos x - \sin x - 1
B=\sin x\cos x - \cos x - \sin x - 1
，

即解不等式

A\cdot B>0
A\cdot B>0

A=\sin x - \cos x>0\Leftrightarrow x\in[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]①\\
A=\sin x - \cos x>0\Leftrightarrow x\in[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]①\\

下面分析得到

x
x
在不同区间
B
B
与 0 的关系

令

t = \sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)
t = \sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)
，
t\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]
t\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]

由
(\sin x + \cos x)^{2}=\sin^{2}x + 2\sin x\cos x+\cos^{2}x = 1 + 2\sin x\cos x
(\sin x + \cos x)^{2}=\sin^{2}x + 2\sin x\cos x+\cos^{2}x = 1 + 2\sin x\cos x
，

可得

\boxed{\sin x\cos x=\frac{t^{2}-1}{2}}\\
\boxed{\sin x\cos x=\frac{t^{2}-1}{2}}\\
则
B=\dfrac{t^{2}-1}{2}-t - 1=\dfrac{t^{2}-2t - 3}{2}
B=\dfrac{t^{2}-1}{2}-t - 1=\dfrac{t^{2}-2t - 3}{2}
，

令

t^{2}-2t - 3>0
t^{2}-2t - 3>0
，

因式分解得

(t - 3)(t + 1)>0
(t - 3)(t + 1)>0
，解得
t\in[-\sqrt{2},-1)
t\in[-\sqrt{2},-1)

而

t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)
t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)
，当
t\in(-\sqrt{2},-1)
t\in(-\sqrt{2},-1)
时，
\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)<-\frac{1}{\sqrt{2}}
\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)<-\frac{1}{\sqrt{2}}
，解得
x\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)
x\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)

B=\sin x\cos x - \cos x - \sin x - 1>0\Leftrightarrow x\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)②\\
B=\sin x\cos x - \cos x - \sin x - 1>0\Leftrightarrow x\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)②\\
分区间讨论
A\cdot B>0
A\cdot B>0
：
在
\left[0,\dfrac{\pi}{4}\right)
\left[0,\dfrac{\pi}{4}\right)
，
A<0
A<0
，
B<0
B<0
，
A\cdot B>0
A\cdot B>0
成立


在

\left(\dfrac{\pi}{4},\pi\right)
\left(\dfrac{\pi}{4},\pi\right)
，
A>0
A>0
，
B<0
B<0
，
A\cdot B<0
A\cdot B<0
不成立


在

\left(\pi,\dfrac{5\pi}{4}\right)
\left(\pi,\dfrac{5\pi}{4}\right)
，
A>0
A>0
，
B>0
B>0
成立


在

\left(\frac{5\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2}\right)
\left(\frac{5\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2}\right)
，
A<0
A<0
，
B>0
B>0
不成立


在

\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)
\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)
，
A<0
A<0
，
B<0
B<0
成立

成立区间

综上，

x\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right)\cup\left(\pi,\frac{5\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)
x\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right)\cup\left(\pi,\frac{5\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)

即

tan⁡x∈(−∞,1)
tan⁡x∈(−∞,1)

\LARGE f(\sin x)>f(\cos x)\\
\LARGE f(\sin x)>f(\cos x)\\

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