1.

x(1-x^2)
x(1-x^2)
,
0<x<1
0<x<1
最大值

法一：升幂齐次：

\[ \begin{align*} x(1 - x^{2})&=\sqrt{\frac{1}{2}\cdot2x^{2}(1 - x^{2})(1 - x^{2})}\\ &\leq\sqrt{\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{2x^{2}+1 - x^{2}+1 - x^{2}}{3}\right)^{3}}\\ &=\frac{2}{3\sqrt{3}} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} x(1 - x^{2})&=\sqrt{\frac{1}{2}\cdot2x^{2}(1 - x^{2})(1 - x^{2})}\\ &\leq\sqrt{\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{2x^{2}+1 - x^{2}+1 - x^{2}}{3}\right)^{3}}\\ &=\frac{2}{3\sqrt{3}} \end{align*} \]

2.

y= \dfrac{x^{3}}{x^{2}-1}
y= \dfrac{x^{3}}{x^{2}-1}
,
x>1
x>1
最小值

法一：转化成分式型三次函数：令

\(t = \dfrac{1}{x}\)
\(t = \dfrac{1}{x}\)
，原式
\(=\dfrac{1}{t - t^{3}}\)
\(=\dfrac{1}{t - t^{3}}\)
同上1，原式
\(\geq\)
\(\geq\)
\dfrac{3\sqrt{3}}{2}
\dfrac{3\sqrt{3}}{2}

法二： 整体放缩成自身的表达式

\[ y=x + \dfrac{x}{x^{2}-1} \\ =x + \dfrac{y}{x^{2}} \\ x + \dfrac{y}{x^2}=\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{x^2} \\ \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{y}{x^2}} \\ = 3\sqrt[3]{\dfrac{y}{4}} \]
\[ y=x + \dfrac{x}{x^{2}-1} \\ =x + \dfrac{y}{x^{2}} \\ x + \dfrac{y}{x^2}=\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{x^2} \\ \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{y}{x^2}} \\ = 3\sqrt[3]{\dfrac{y}{4}} \]

于是

y\geq\dfrac{3\sqrt{3}}{2}
y\geq\dfrac{3\sqrt{3}}{2}

3.

\(\dfrac{(x^{2}+1)^{2}}{x}\)
\(\dfrac{(x^{2}+1)^{2}}{x}\)

法一：局部利用常数齐次幂后约分

\[ \begin{align*} \dfrac{(x^{2}+1)^{2}}{x}&=\dfrac{(x^{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3})^{2}}{x}\\ &\geq\dfrac{(4\sqrt[4]{x^{2}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3}})^{2}}{x}\\ &=\dfrac{16}{9}\sqrt{3} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} \dfrac{(x^{2}+1)^{2}}{x}&=\dfrac{(x^{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3})^{2}}{x}\\ &\geq\dfrac{(4\sqrt[4]{x^{2}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3}})^{2}}{x}\\ &=\dfrac{16}{9}\sqrt{3} \end{align*} \]

4.若

\(m^{2}+4n^{2}=5\)
\(m^{2}+4n^{2}=5\)
,
\(m,n>0\)
\(m,n>0\)
,
\dfrac{m(2n + 1)}{2n + 3}\
\dfrac{m(2n + 1)}{2n + 3}\
最大值

法一：局部放缩约分

\(m=\sqrt{5 - 4n^{2}}\)
\(m=\sqrt{5 - 4n^{2}}\)
原式变为
\dfrac{(2n + 1)\sqrt{5 - 4n^{2}}}{2n + 3}\
\dfrac{(2n + 1)\sqrt{5 - 4n^{2}}}{2n + 3}\

分子

=\sqrt{(4n^{2}+4n + 1)(5 - 4n^{2})}\leqslant\dfrac{(4n^{2}+4n + 1)+(5 - 4n^{2})}{2}=\dfrac{4n + 6}{2}=2n + 3\
=\sqrt{(4n^{2}+4n + 1)(5 - 4n^{2})}\leqslant\dfrac{(4n^{2}+4n + 1)+(5 - 4n^{2})}{2}=\dfrac{4n + 6}{2}=2n + 3\

所以

\dfrac{m(n + 1)}{n + 3}\ \leqslant 1
\dfrac{m(n + 1)}{n + 3}\ \leqslant 1

法二：三角方法

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