\Large f(x)=(x - \frac{1}{x})R(x+\frac{1}{x})\\
\Large f(x)=(x - \frac{1}{x})R(x+\frac{1}{x})\\
我们可以取一个简单的一次分式有理函数
\(R(x)=\frac{x}{x + 1}\)
\(R(x)=\frac{x}{x + 1}\)
，

\begin{align*} f(x)&=(x - \frac{1}{x})R(x + \frac{1}{x})\\ &=\frac{x^{2}-1}{x} \cdot \frac{x^{2}+1}{x^{2}+x + 1}\\ &=\frac{(x^{2}-1)(x^{2}+1)}{x(x^{2}+x + 1)}\\ &=\frac{x^{4}-1}{x^{3}+x^{2}+x} \end{align*} \\
\begin{align*} f(x)&=(x - \frac{1}{x})R(x + \frac{1}{x})\\ &=\frac{x^{2}-1}{x} \cdot \frac{x^{2}+1}{x^{2}+x + 1}\\ &=\frac{(x^{2}-1)(x^{2}+1)}{x(x^{2}+x + 1)}\\ &=\frac{x^{4}-1}{x^{3}+x^{2}+x} \end{align*} \\

此类满足

f(x)+f(\frac{1}{x})=0
f(x)+f(\frac{1}{x})=0
或者
f(x)=f(\frac{1}{x})
f(x)=f(\frac{1}{x})
的函数可以出零点个数题，恒成立命题转换等等

或者令

\(x = a^x\)
\(x = a^x\)
，其中
a>0\
a>0\
且
a\neq1\
a\neq1\
出成奇函数模型

运用刚才生成的

f(x)
f(x)
可以得到

\(y=\dfrac{(e^{2t}+1)(e^{t}+1)(e^{t}-1)}{e^{t}(e^{2t}+e^{t}+1)}\)
\(y=\dfrac{(e^{2t}+1)(e^{t}+1)(e^{t}-1)}{e^{t}(e^{2t}+e^{t}+1)}\)
或者
\(y=\dfrac{e^{4t}-1}{e^{t}(e^{2t}+e^{t}+1)}\)
\(y=\dfrac{e^{4t}-1}{e^{t}(e^{2t}+e^{t}+1)}\)

例题

2025宁波“十校”三月联考 已知函数
\(f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}\)
\(f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}\)
，对任意
\(x\in[\frac{1}{3},\frac{3}{5}]\)
\(x\in[\frac{1}{3},\frac{3}{5}]\)
，都有
\(f(x)+f(4x - a)\leq0\)
\(f(x)+f(4x - a)\leq0\)
恒成立，实数
\(a\)
\(a\)
的取值范围为（C ）
A.
[1,4]\
[1,4]\
B.
[2,5]
[2,5]
C.
[3,4]
[3,4]
D.
[3,5]
[3,5]

最基础的飘带函数

\(y=x-\frac{1}{x}\)
\(y=x-\frac{1}{x}\)
函数便自然具有这个性质 ，因此在对数飘带三零点模型中，我们只需要一次找点即可，这是因为可以利用
lnx-a(x-\frac{1}{x})
lnx-a(x-\frac{1}{x})
满足
f(x)+f(\frac{1}{x})=0
f(x)+f(\frac{1}{x})=0
的性质。

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