（2025深圳二模T17）已知椭圆
E:\frac{x^{2}}{4}+y^{2} = 1
E:\frac{x^{2}}{4}+y^{2} = 1
，
R
R
是直线
\(y = 2\)
\(y = 2\)
上一动点。
过
R
R
作
E
E
的两条切线分别交
x
x
轴于
M
M
，
N
N
两点，求
\(\triangle RMN\)
\(\triangle RMN\)
面积的取值范围。

官答（坐标同构）

设点

\(M(m,0)\)
\(M(m,0)\)
，
\(N(n,0)\)
\(N(n,0)\)
，
\(R(t,2)\)
\(R(t,2)\)
，注意到
\(RM\)
\(RM\)
，
\(RN\)
\(RN\)
斜率不为
\(0\)
\(0\)
。
设
RM
RM
：
x = \frac{t - m}{2}y + m
x = \frac{t - m}{2}y + m

RN
RN
：
x = \frac{t - n}{2}y + n
x = \frac{t - n}{2}y + n

联立

\begin{cases} \displaystyle \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1 \\ x = \frac{t - m}{2}y + m \end{cases}\\
\begin{cases} \displaystyle \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1 \\ x = \frac{t - m}{2}y + m \end{cases}\\

得
[16 + (t - m)^{2}]y^{2} + 4(t - m)my + 4(m^{2} - 4) = 0\\
[16 + (t - m)^{2}]y^{2} + 4(t - m)my + 4(m^{2} - 4) = 0\\
因为
RM
RM
与椭圆
E
E
相切，所以判别式
\Delta = [4(t - m)m]^{2} - 4[16 + (t - m)^{2}] \cdot 4(m^{2} - 4) = 0\\
\Delta = [4(t - m)m]^{2} - 4[16 + (t - m)^{2}] \cdot 4(m^{2} - 4) = 0\\

于是
16(t - m)^{2}m^{2} - 16[16 + (t - m)^{2}][m^{2} - 4] = 0\\
16(t - m)^{2}m^{2} - 16[16 + (t - m)^{2}][m^{2} - 4] = 0\\

化简得
3m^{2} + 2tm - t^{2} - 16 = 0\\
3m^{2} + 2tm - t^{2} - 16 = 0\\

又

RN
RN
与
E
E
相切，同理有
3n^{2} + 2tn - t^{2} - 16 = 0\\
3n^{2} + 2tn - t^{2} - 16 = 0\\

故

m
m
，
n
n
是一元二次方程
3x^{2} + 2tx - t^{2} - 16 = 0
3x^{2} + 2tx - t^{2} - 16 = 0
的两根

则根与系数关系为

m + n = -\frac{2t}{3}
m + n = -\frac{2t}{3}
mn = -\frac{t^{2} + 16}{3}
mn = -\frac{t^{2} + 16}{3}

所以

|MN| = |m - n| = \sqrt{(m + n)^{2} - 4mn} = \sqrt{\left(-\frac{2t}{3}\right)^{2} - 4 \times \left(-\frac{t^{2} + 16}{3}\right)} = \frac{4\sqrt{t^{2} + 12}}{3}\\
|MN| = |m - n| = \sqrt{(m + n)^{2} - 4mn} = \sqrt{\left(-\frac{2t}{3}\right)^{2} - 4 \times \left(-\frac{t^{2} + 16}{3}\right)} = \frac{4\sqrt{t^{2} + 12}}{3}\\

又

t^{2} \geq 0
t^{2} \geq 0
，所以三角形面积
S_{\triangle RMN} = \frac{1}{2}|MN| \cdot 2 = \frac{4\sqrt{t^{2} + 12}}{3} \geq \frac{4\sqrt{0 + 12}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \\
S_{\triangle RMN} = \frac{1}{2}|MN| \cdot 2 = \frac{4\sqrt{t^{2} + 12}}{3} \geq \frac{4\sqrt{0 + 12}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \\

因此，

\triangle RMN
\triangle RMN
面积的取值范围为
\left[\frac{8\sqrt{3}}{3}, +\infty\right)
\left[\frac{8\sqrt{3}}{3}, +\infty\right)

斜率（斜率同构）

MR：x = m_1y - (2m_1 - x_R)
MR：x = m_1y - (2m_1 - x_R)

NR：x = m_2y - (2m_1 - x_R)
NR：x = m_2y - (2m_1 - x_R)

（这里反设可以包含倾斜角为

\(\frac{\pi}{2}\)
\(\frac{\pi}{2}\)
时的直角三角形情形）

点斜式设法，与官方答案中两点式设法不同。

如果我们没能想到从坐标同构中得出

|MN|
|MN|
，也可以从斜率同构中得出

联立其一即可，另一切线关系可“同理可得”

联立后令判别式

\Delta\
\Delta\
为0得

3m_1^2 - 4x_R m_1 + x_R^2 - 4 = 0\\
3m_1^2 - 4x_R m_1 + x_R^2 - 4 = 0\\

3m_2^2 - 4x_R m_2 + x_R^2 - 4 = 0\\
3m_2^2 - 4x_R m_2 + x_R^2 - 4 = 0\\

有同构方程

3m^2 - 4x_R m + x_R^2 - 4 = 0\\
3m^2 - 4x_R m + x_R^2 - 4 = 0\\
韦达定理，
\begin{cases}m_{1} + m_{2} = \frac{4x_R}{3}\\m_{1} \cdot m_{2} = \frac{x_R^2 - 4}{3}\end{cases}\\
\begin{cases}m_{1} + m_{2} = \frac{4x_R}{3}\\m_{1} \cdot m_{2} = \frac{x_R^2 - 4}{3}\end{cases}\\

这里可以解出

m_1
m_1
,
m_2
m_2
，并得到
M,N
M,N
的（横）坐标从而计算
|MN|
|MN|
得到面积，但过程是相当麻烦的

事实上，我们可以跳出来思考一下，只知道三角形的高和高左右两条边的斜率，能否直接确定面积的表达。

这在几何上显然是可以的，那么我们可以先抽象出来一个模型，先找到斜率与面积的关系，再代入计算。

双斜率轴顶三角形面积公式推导

设三角形的底在

x
x
轴上，两端点为
A(a, 0)
A(a, 0)
和
B(b, 0)
B(b, 0)
（这里先引入，可以通过斜率直接消去），顶点为
C(0, c)
C(0, c)
（在
y
y
轴上）。已知边
AC
AC
的斜率为
k_1
k_1
，边
BC
BC
的斜率为
k_2
k_2
。以下是面积公式的推导过程：

根据斜率公式：

AC

k_1 = \frac{0 - c}{a - 0} = -\frac{c}{a}
k_1 = \frac{0 - c}{a - 0} = -\frac{c}{a}
，解得
a = -\frac{c}{k_1}
a = -\frac{c}{k_1}
；

BC

k_2 = \frac{0 - c}{b - 0}
k_2 = \frac{0 - c}{b - 0}
=
-\frac{c}{b}
-\frac{c}{b}
，解得
b = -\frac{c}{k_2}
b = -\frac{c}{k_2}
。

底 AB 的长度为两端点在X轴上的距离：

|AB| = |b - a| = \left| -\frac{c}{k_2} + \frac{c}{k_1} \right| = c \left| \frac{1}{k_1} - \frac{1}{k_2} \right| = c \left| \frac{k_2 - k_1}{k_1 k_2} \right|
|AB| = |b - a| = \left| -\frac{c}{k_2} + \frac{c}{k_1} \right| = c \left| \frac{1}{k_1} - \frac{1}{k_2} \right| = c \left| \frac{k_2 - k_1}{k_1 k_2} \right|
.

代入底和高的表达式：

\boxed{S = \frac{1}{2} \cdot \frac{|k_2 - k_1|}{|k_1 k_2|} \cdot c^2}
\boxed{S = \frac{1}{2} \cdot \frac{|k_2 - k_1|}{|k_1 k_2|} \cdot c^2}
或者
\boxed{S=\frac{c^{2}}{2}\left|\frac{1}{k_{1}}-\frac{1}{k_{2}}\right|}
\boxed{S=\frac{c^{2}}{2}\left|\frac{1}{k_{1}}-\frac{1}{k_{2}}\right|}

其中

\boxed{AB = \frac{|k_2 - k_1|}{|k_1 k_2|}\cdot c}
\boxed{AB = \frac{|k_2 - k_1|}{|k_1 k_2|}\cdot c}

这里由于我们斜率是反设的，因此直接有

\begin{align*} |m_{1} - m_{2}|&=\sqrt{(\frac{4x_R}{3})^2 - 4\times\frac{x_R^2 - 4}{3}}\\ &=\frac{2}{3}\sqrt{x_R^2 + 12} \end{align*}
\begin{align*} |m_{1} - m_{2}|&=\sqrt{(\frac{4x_R}{3})^2 - 4\times\frac{x_R^2 - 4}{3}}\\ &=\frac{2}{3}\sqrt{x_R^2 + 12} \end{align*}

S_{\triangle RMN}=
S_{\triangle RMN}=
2|m_1 - m_2|=\frac{4}{3}\sqrt{x_R^2 + 12} \geq\frac{8\sqrt{3}}{3}
2|m_1 - m_2|=\frac{4}{3}\sqrt{x_R^2 + 12} \geq\frac{8\sqrt{3}}{3}

总结

两种方法没有本质区别，在代数上统一运用到了韦达定理中的两根之差表示

知识普及

斜率同构技巧一般是针对具有同等地位的两条直线（或多条直线），并且已知两直线的斜率关系（通常是和积关系，比如斜率和为定值、斜率积为定值，或是关于和、积的等式），通过构造关于两直线斜率的二次方程，由于两直线具有同等地位，两斜率都是此二次方程的根，最后再利用根与系数的关系（韦达定理）建立等式方程。

S = \frac{1}{2} \cdot \frac{|k_2 - k_1|}{|k_1 k_2|} \cdot c^2\\
S = \frac{1}{2} \cdot \frac{|k_2 - k_1|}{|k_1 k_2|} \cdot c^2\\

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