题目
11. 对于 
n\in N^* ，将 
n 表示为 
n = a_0\cdot3^0 + a_1\cdot3^1 + a_2\cdot3^2 + \cdots + a_k\cdot3^k ，其中 
a_i\in\{ - 1,0,1\}(i = 0,1,2,\cdots,k)，a_k\neq0 ，记 
I(n) 为上述表示中，为 
的个数（例如 
8 = (-1)\cdot3^0 + 0\cdot3^1 + 1\cdot3^2 ，则 
I(8)=1 ），则下列结论正确的是（ ）
A. 
I(9)=2
B. 
I(3^n - 1)=n - 1
C. 
I(9n)=I(n)+2
D. 
I(9n + 4)=I(n)+4
答案：ABC
解析
首先映入眼帘的就是一股二项式定理的味道，但其实不是，仔细一看是类似三进制的东西，但是数码取值有所不同，这里是
a_i\in\{ - 1,0,1\} 。
似乎并不能立马断言此类n的分解是一一对应的（即平衡三进制数列和十进制整数存在一一映射的关系），因为这与三进制分解的单调性不同。
为此我们似乎需要先证明 “平衡三进制数一一映射（个人记作 
∼ ）十进制整数”
首先我们可能比较希望与已知的问题做关联，因为我们熟知普通三进制数 ∼ 十进制整数
因此上述问题等价于“平衡三进制数 ∼ 普通三进制数”
这个命题有两个方面：
①平衡三进制数 
\longrightarrow 普通三进制数 是单射
即
任意的平衡三进制数都对应唯一的不同的普通三进制数
这是显然的，因为任意写出的 n = a_0\cdot3^0 + a_1\cdot3^1 + a_2\cdot3^2 + \cdots + a_k\cdot3^k 总能找到唯一的十进制表达。
理解难点在于②
②普通三进制数\longrightarrow平衡三进制数 是单射
即
任意的普通三进制数都对应唯一的不同的平衡三进制
然而平衡三进制有负数码，这并不直观，为此需要简单证明一下。
证明
任取两个平衡三进制a，b
a = \sum_{i=0}^m a_i \cdot 3^i ，\quad b = \sum_{i=0}^n b_i \cdot 3^i \quad \\ 
(a_i, b_i \in \{-1, 0, 1\})\\ 分析 
a与 
b 的差值 
d
d=\sum_{i=0}^{\max(m,n)} (a_i - b_i) \cdot 3^i \\
记 
d_i = a_i - b_i ，
由上述两个平衡三进制 a ， b 任取，
则 
d_i 可任取 
\{-2, -1, 0, 1, 2\}
\sum_{i=0}^{\max(m,n)} (d_i) \cdot 3^i = 0 \\
a - b = 0 \Leftrightarrow d_i = 0 ，i=0,1,2\dots n\\
这里仔细一看发现已经成为一个三进制问题，至少负数码与正数码对称，只是数码存有负不符合我们的认知习惯，我们把 
d_i 为负的部分移到等号右边，使问题更加简单而显然
\underbrace{\sum_{d_i>0}d_i\cdot3^i}_{\text{正数码部分}} = \underbrace{\sum_{d_j < 0}(-d_j)\cdot3^j}_{\text{负数码正部分}}\\
这就变成了两个三进制相等的问题，仔细一看，两个位数不同的三进制相等只能是各位都是0,因此命题得证
为了直观（并不，我懒得画表格了，直接让dpsk生成的）展示该证明过程，可以如此表示正负数码的平衡关系：
原式展开：
\begin{matrix} \underbrace{ \begin{array}{c|ccccc} \text{位权} & 3^m & \cdots & 3^1 & 3^0 \\ \hline \text{数码} & d_m & \cdots & d_1 & d_0 \\ \text{符号} & \pm & \cdots & \pm & \pm \end{array} }_{\text{含负数码的三进制表示}} & = & 0 \end{matrix}
将负数码移到等式右边：
\begin{matrix} \underbrace{ \begin{array}{c|ccccc} \text{位权} & 3^m & \cdots &3^n & \cdots& 3^1 & 3^0 \\ \hline \text{左式} & d_m & \cdots & \cdots& \cdots & \square\ & \square\ \\ \text{右式} & 0& \cdots &\square\ & \cdots&\square\ &\square\ \end{array}}_{\text{左右式每一数码至少其一为0}} \end{matrix}
反证法证明（从差值存在非零项推得矛盾）
其实也可以运用反证法分析，最后是余数有关的问题
假设 
a \neq b ，则至少存在某一位 
\( d_i \neq 0 \) 。设 
t 是最低位满足 
d_t \neq 0 \ 的位置（即 
\( d_0 = d_1 = \dots = d_{t-1} = 0 \) ，但 
d_t \neq 0 )。
此时，等式可分解为：
d_t \cdot 3^t + \sum_{i=t+1}^k d_i \cdot 3^i = 0 提取公因子 
\( 3^t \) ：
3^t \left( d_t + \sum_{i=t+1}^k d_i \cdot 3^{i-t} \right) = 0
由于 
3^t \neq 0 ，故： 
d_t + 3 \cdot \sum_{i=t+1}^k d_i \cdot 3^{i-t-1} = 0\\
令 
M = \sum_{i=t+1}^k d_i \cdot 3^{i-t-1} \\则
d_t = -3M \\根据 
\( d_t \in \{-2, -1, 0, 1, 2\} \) 且 
\( d_t \neq 0 \) ，可能的取值为 
\pm 1, \pm 2 。
但 
\( d_t = -3M \) 表明 
d_t \ 必须是 
3 的倍数（因为 
M 是整数）
而 
\pm 1, \pm 2\ 均不是 
3 的倍数，矛盾 
\square.
本质
最低非零位差值
\pm1 \cdot 3^t或
\pm2 \cdot 3^t 在模
3^{t} 下非零，而更高位差值为
3^{t} 的整数倍，无法通过线性组合抵消这一非零余数，故唯一性成立。
各选项分析
I(n) 为上述表示中，为 的个数
A. I(9)=2 显然 
9 = 1 \cdot 3^2 + 0 \cdot 3^1 + 0 \cdot 3^0 ，由前证一一映射知等号确无其他分解
B. I(3^n - 1)=n - 1
3^n - 1 = 1 \cdot 3^n + (-1) \cdot 3^0 + \underbrace{0 \cdot 3^1 + 0 \cdot 3^2 + \cdots + 0 \cdot 3^{n - 1}}_{n - 1个0} \\
C. I(9n)=I(n)+2 
9n = n \cdot 3^2 相当于将 n 的表示式中各项的幂次都加 
2 ，则 
3^0 \ 与 
3^1 位置必为 （“移码”）
D. I(9n + 4)=I(n)+4 这是在说“左移码”两位后于 3^1 和 
3^0 分别 
+1 ，使得操作不改变0的个数，这是不可能的，选项错误
普通三进制向平衡三进制转化的本质是
逐位处理普通三进制的 2 时，递归地将 
2 \cdot 3^k 替换为 
1 \cdot 3^{k+1} + (-1) \cdot 3^k ，使最终所有数码均为 
-1, 0, 1
过去考察进制的高考题
2021新高考二卷12题
12. 设正整数 
\(n = a_{0}\cdot2^{0}+a_{1}\cdot2 + \cdots + a_{k - 1}\cdot2^{k - 1}+a_{k}\cdot2^{k}\) ，其中 
\(a_{i}\in\{0,1\}\) ，记 
\omega(n)=a_{0}+a_{1}+\cdots + a_{k}\ 。则（ ）
A. 
\omega(2n)=\omega(n)
B. 
\omega(2n + 3)=\omega(n)+1
C. 
\omega(8n + 5)=\omega(4n + 3)
D. 
\omega(2^{n}-1)=n\
答案 ACD
解析
A. 左移码操作 各位和不变
B. 左移码一位之后于 
2^1 位和 
2^0 位 +1 ，使得系数和不变，这是不可能的
C. 翻译等号两边操作：
等号左边的操作是左移码三位之后于 
2^2 位和 2^0 位 +1
等号右边的操作是左移码两位之后于 2^1 位和 2^0 位 +1
移码不改变各位数和，且移码后都在值为0的位上+1，各为两次，故相等
D.二进制下做减法， 
1\underbrace{00\cdots0}_{n \text{ 个 } } 
-1 
= 
\( \underbrace{111\cdots1}_{n\text{个}} \) 正确
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