题目
已知曲线
C:\sin(x + 2y)=2x - y
C:\sin(x + 2y)=2x - y
,
\(P(x_{0},y_{0})\)
\(P(x_{0},y_{0})\)
为曲线
C
C
上一点，则下列说法中正确的有（ ）
A. 曲线
C
C
与直线
\(y = x + 1\)
\(y = x + 1\)
恰有四个公共点
B. 曲线
C
C
与直线
\(y = 2x - 1\)
\(y = 2x - 1\)
相切
C.
\(y_{0}\)
\(y_{0}\)
是关于
\(x_{0}\)
\(x_{0}\)
的函数
D.
\(x_{0}\)
\(x_{0}\)
是关于
\(y_{0}\)
\(y_{0}\)
的函数

答案：BD

解析

对于CD项，利用函数基本定义“

\(x\)
\(x\)
对应唯一确定的
\(y\)
\(y\)
”进行分析：

已知

\sin(x + 2y)=2x - y\\
\sin(x + 2y)=2x - y\\

一方面，对于确定的

\(y\)
\(y\)
，考察
\(x\)
\(x\)
的情况： 由于
\(x+C\)
\(x+C\)
一一映射
\(x\)
\(x\)
，

可令

\(x=x - 2y\)
\(x=x - 2y\)
，有
\(\sin x=2(x - 2y)-y\)
\(\sin x=2(x - 2y)-y\)
，

即

sin x=2x - 5y\\
sin x=2x - 5y\\

将

x
x
视作自变量，整理可得
5y = 2x-\sin x\\
5y = 2x-\sin x\\

这时有

f(x)=2x-\sin x\\
f(x)=2x-\sin x\\
f^\prime(x)=2-\cos x\gt0\ \\
f^\prime(x)=2-\cos x\gt0\ \\

所以

2x - \sin x \\
2x - \sin x \\
在
\(\mathbb{R}\)
\(\mathbb{R}\)
上单调。

图像

这意味着对于确定的

\(y\)
\(y\)
，若存在（当然，这里曲线方程
C
C
对
x
x
,
y
y
没有约束，故这样的
y
y
一定存在），
\(y\)
\(y\)
与
\(x\)
\(x\)
的对应关系为：
确定的y\longrightarrow唯一的x\\\
确定的y\longrightarrow唯一的x\\\

这就是在说

x_0
x_0
是关于
\(y_{0}\)
\(y_{0}\)
的函数

另一方面，对于确定的

\(x\)
\(x\)
，考察
\(y\)
\(y\)
的情况：

由于

\(y+C\)
\(y+C\)
一一映射
\(y\)
\(y\)
，

令

\(y=y-\frac{x}{2}\)
\(y=y-\frac{x}{2}\)
，则有
\(\sin y=\frac{5}{2}x - \frac{y}{2}\)
\(\sin y=\frac{5}{2}x - \frac{y}{2}\)
，

将

y
y
视作自变量，整理可得

\frac{5}{2}x=\sin y+\frac{y}{2}\\
\frac{5}{2}x=\sin y+\frac{y}{2}\\

设

g(y)=\sin y+\frac{y}{2}，g^\prime(y)=\cos y+\frac{1}{2}\\
g(y)=\sin y+\frac{y}{2}，g^\prime(y)=\cos y+\frac{1}{2}\\
\(g^\prime(y)\)
\(g^\prime(y)\)
的值对任意的
y
y
正有负，所以
\(g(y)\)
\(g(y)\)
不在
\(\mathbb{R}\)
\(\mathbb{R}\)
上全局单调。

由

g(y)
g(y)
的连续性，对于某一个
\(x\)
\(x\)
的取值，必然有多个
y
y
与之对应，
\(x\)
\(x\)
\longrightarrow\
\longrightarrow\
可以取多个
\(y\)
\(y\)
图像

因此，

y_0
y_0
不是关于
\(x_{0}\)
\(x_{0}\)
的函数

对于A项：通过消去变量、估值，得出曲线

\(C\)
\(C\)
与直线
\(y = x + 1\)
\(y = x + 1\)
有且仅有三个公共点。

对于B项： 用到线性一一映射变换不改变曲线的切线性质（默认成立），对于

令

\(m = x+2y\)
\(m = x+2y\)
，
\(n = 2x - y\)
\(n = 2x - y\)
，这时
(m,n)\longleftrightarrow(x,y)\\
(m,n)\longleftrightarrow(x,y)\\

原方程即

\(n=\sin m\)
\(n=\sin m\)

此时切线方程

y=2x-1
y=2x-1
即为
\(n = 1\)
\(n = 1\)
，因此
C
C
确有切线方程
y=2x-1
y=2x-1

更加本质对这道题的理解：

我们熟知，

平面直角坐标系中一点

\((x,y)\)
\((x,y)\)
绕原点逆时针旋转
\(\theta\)
\(\theta\)
角度后得到点
(x',y')
(x
，

旋转公式为：

\begin{cases}x' = x\cos\theta - y\sin\theta \\ y' = x\sin\theta + y\cos\theta\end{cases}\\
\begin{cases}x
令
\theta=\arctan2
\theta=\arctan2
，则
\sin\theta = \frac{2}{\sqrt{5}}
\sin\theta = \frac{2}{\sqrt{5}}
，
\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{5}}
\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{5}}
，

代入

y=-sinx
y=-sinx
可以得到 方程

1. 首先，将

\(\sin\theta=\frac{2}{\sqrt{5}}\)
\(\sin\theta=\frac{2}{\sqrt{5}}\)
，
\(\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
代入转轴方程，得到：

\begin{cases}x'=\frac{1}{\sqrt{5}}x-\frac{2}{\sqrt{5}}y\\y'=\frac{2}{\sqrt{5}}x+\frac{1}{\sqrt{5}}y\end{cases}\\
\begin{cases}x
解出

\begin{cases} x=\frac{1}{\sqrt{5}}x'+\frac{2}{\sqrt{5}}y' \\ \quad \\ y =-\frac{2}{\sqrt{5}}x'+\frac{1}{\sqrt{5}}y' & (\text{*}) \end{cases} \\
\begin{cases} x=\frac{1}{\sqrt{5}}x

(\text{*})
(\text{*})
代入
\(y = -\sin x\)
\(y = -\sin x\)
中，若令
\(X = x'\)
\(X = x
，
\(Y = y'\)
\(Y = y
：

-\frac{2}{\sqrt{5}}X+\frac{1}{\sqrt{5}}Y=-\sin(\frac{1}{\sqrt{5}}X+\frac{2}{\sqrt{5}}Y)\\
-\frac{2}{\sqrt{5}}X+\frac{1}{\sqrt{5}}Y=-\sin(\frac{1}{\sqrt{5}}X+\frac{2}{\sqrt{5}}Y)\\

这里已经很接近曲线

C
C
的方程
2x - y=sin(x + 2y)
2x - y=sin(x + 2y)

实际上只需要伸缩变换

\(X\)
\(X\)
\(\xrightarrow{}\)
\(\xrightarrow{}\)
\(\sqrt{5}X\)
\(\sqrt{5}X\)
，
\(Y\)
\(Y\)
\(\xrightarrow{}\)
\(\xrightarrow{}\)
\(\sqrt{5}Y\)
\(\sqrt{5}Y\)
，

即得

Y-2X=-sin(X + 2Y)\\
Y-2X=-sin(X + 2Y)\\
这就是
2X - Y=sin(X + 2Y)\\
2X - Y=sin(X + 2Y)\\
因此题设方程即将
y=-\frac{\sin(\frac{x}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}}
y=-\frac{\sin(\frac{x}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}}
旋转
\arctan2
\arctan2
后 所得

图像

过往真题、模拟题对函数定义的考察：

Eg1
Eg1
： 若将函数
\(f(x)\)
\(f(x)\)
的图象绕原点逆时针旋转
\(\frac{\pi}{4}\)
\(\frac{\pi}{4}\)
后得到的曲线依然可以看作一个函数的图象，则下列函数中符合条件的有（ ）

A.

y = \sin x
y = \sin x
B.
y=sin 2x
y=sin 2x
C.
y=x - \ln x\
y=x - \ln x\
D.
y = xe^{x}
y = xe^{x}

思路：只需考察

y'
y
取值是否在
[-1,1]
[-1,1]
即可。

想到这个题是因为二者同样考察正弦函数的旋转图像是否为函数的问题。

按我们上文对图像旋转的推导，可以知道，因为旋转角是

\arctan2 > \frac{\pi}{4}
\arctan2 > \frac{\pi}{4}
，因此只能
x_{0}
x_{0}
关于
y_{0}
y_{0}
构成函数.

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